Zmiana nazwiska dziecka - forum prawne

Witam jestem 26 letnia kobieta mam córkę z nieformalnego związku . Rozstałam się z jej ojcem jeszcze w czasie ciąży . Po porodzie ojciec uznał dziecko i oboje nadaliśmy jej nazwisko po ojcu ( nie wiedziałam wtedy że można dać 2 członowe ) . Myślałam że to dobra decyzja ponieważ nie chciałam układać sobie życia, jednak kiedy córka miała 2 lata poznałam obecnego partnera z którym mieszkam od 3 lat . ( Córka ma 5 ) . Pół roku temu wzięliśmy ślub i mamy wspólnego synka który za miesiąc skończy rok . Ostatnio córka zaczęła pytac o nazwisko ( dużo chorowała musiała przejść operację więc wszędzie słyszała ) wytumaczylam jej że ma nazwisko po tacie biologicznym że to dzięki niemu jest na świecie ( do męża też mówi tato ) jednak ona nalegała że chce mieć takie jak my , zaczęła mówić wszystkim ze nazywa się inaczej lekarza koleżanka w przedszkolu znajomym.widac jej upór zaproponowałam jej ojcu biologicznemu by zrobić jej nazwisko 2 członowe jednak ten się nie zgodził argumentując nie bo nie i tyle . Wytumaczylam wtedy córeczce że to że ma inne nazwisko nic nie zmienia że ja kochamu i że ty jest jej rodzina a tam 2 ma tam babcie i dziadka i Tate i wujka ( brata od ojca biologicznego) jednak pewnego dnia przyszedł po nią ojciec biologiczny i ona przy nim powiedziała że nie chce mieć takiego nazwiska jak on i że chce mieć inne wpadł w złość i mówi do niej inne będziesz miała jak umrę . Od tego czasu relacje między córka a jej biologicznym ojcem bardzo osłabły nie chętnie chodzi do niego tłumacze jej że to jest jej tata ale ona jest uparta. Zaczęłam czytać fora i zastanawiam się nad sądowym wnioskiem o zmianę nazwiska na 2 członowe . Czy argumenty jakie przedstawię czyli przynależność do rodziny poczucie bezpieczeństwa rodzeństwo i to że mieszka z nami tylko ja załatwiam formalności związane z urzędami przedszkolami czy lekarzami więc też ułatwiło by to sprawę czy takie argumenty wystarcza .
Proszę o odpowiedź nie chce by ciągnęło się to latami . Czy długo czeka się na sprawę ?